(x³ − 3x² + 5x − 3) ÷ (x − 1) 的商是多少？

Step-by-step solution

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   先判斷這次除法會不會整除。 由因式定理，$x - 1$ 整除這個三次式，當且僅當把 $x = 1$ 代進去結果為零：

   $1 - 3 + 5 - 3 = 0$

   確實為零，所以餘數應該是 $0$，商是一個乾淨的二次式。事先知道這一點，最後若還剩下非零的東西，就表示算術出了差錯。

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   第一輪：除、乘、減。 最高次項相除：

   $\frac{x^3}{x} = x^2, \qquad x^2(x-1) = x^3 - x^2$

   $(x^3 - 3x^2 + 5x - 3) - (x^3 - x^2) = -2x^2 + 5x - 3$

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   第二輪。 此時待除式以 $-2x^2$ 打頭：

   $\frac{-2x^2}{x} = -2x, \qquad -2x(x-1) = -2x^2 + 2x$

   $(-2x^2 + 5x - 3) - (-2x^2 + 2x) = 3x - 3$

   留意符號：減去 $+2x$ 之後剩下 $5x - 2x = 3x$。

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   第三輪收尾。 從 $3x$ 開始：

   $\frac{3x}{x} = 3, \qquad 3(x-1) = 3x - 3$

   $(3x - 3) - (3x - 3) = 0$

   餘數是 $0$，和因式定理預測的完全一致，所以商就是 $x^2 - 2x + 3$。

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   乘回去驗證。 把除法得到的分解展開：

   $(x-1)(x^2 - 2x + 3) = x^3 - 2x^2 + 3x - x^2 + 2x - 3 = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$

   和原來的三次式一致。順帶一提，$x^2 - 2x + 3$ 的判別式是 $4 - 12 = -8 < 0$，所以 $x = 1$ 是這個三次式唯一的實根。