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Algebra · real student question

解關於 x 的方程式：1/x³ − 1/(5 × 10⁻⁵)³ = 9.33020554 × 10¹⁰。

Question

解關於 xx 的方程式：

1x3−1(5×10−5)3=9.33020554×1010\frac{1}{x^3} - \frac{1}{\left(5\times 10^{-5}\right)^3} = 9.33020554\times 10^{10}

Step-by-step solution

  1. 先把已知的那個倒數三次方算出來。 尾數取三次方，指數乘以三：

    (5×10−5)3=125×10−15=1.25×10−13 ⟹ 11.25×10−13=8×1012\left(5\times 10^{-5}\right)^3 = 125\times 10^{-15} = 1.25\times 10^{-13} \ \Longrightarrow \ \frac{1}{1.25\times 10^{-13}} = 8\times 10^{12}

  2. 把它移到右邊，相加之前先統一 10 的次方。

    1x3=8×1012+9.33020554×1010\frac{1}{x^3} = 8\times 10^{12} + 9.33020554\times 10^{10}

    把較大的那一項改寫成較小的指數：

    8×1012=800×10108\times 10^{12} = 800\times 10^{10}

    1x3=(800+9.33020554)×1010=809.33020554×1010=8.0933020554×1012\frac{1}{x^3} = (800 + 9.33020554)\times 10^{10} = 809.33020554\times 10^{10} = 8.0933020554\times 10^{12}

  3. 取倒數得到 x³。

    x3=18.0933020554×1012=1.235590×10−13x^3 = \frac{1}{8.0933020554\times 10^{12}} = 1.235590\times 10^{-13}

  4. 開立方，先把指數調成能被 3 整除的數。

    x=123.5591×10−153=123.55913×10−5=4.98071×10−5x = \sqrt[3]{123.5591\times 10^{-15}} = \sqrt[3]{123.5591}\times 10^{-5} = 4.98071\times 10^{-5}

  5. 別把它四捨五入成 5×10⁻⁵——看清原因。 答案跟題目裡那個常數近得讓人心動，但如果恰好 x=5×10−5x = 5\times 10^{-5}，左邊就會是

    1(5×10−5)3−1(5×10−5)3=0\frac{1}{(5\times10^{-5})^3} - \frac{1}{(5\times10^{-5})^3} = 0

    而不是 9.33×10109.33\times 10^{10}。這兩個數本來就是設計成不相等的，把差別四捨五入掉，整個方程式就毀了。

  6. 驗證答案，並看清為什麼這個偏移這麼小。 取 x=4.98071×10−5x = 4.98071\times 10^{-5}：

    1x3−8×1012=9.3302×1010 ✓\frac{1}{x^3} - 8\times 10^{12} = 9.3302\times 10^{10} \ \checkmark

    右邊只相當於 8×10128\times 10^{12} 的 1.17%1.17\%，而由於 x∝(1/x3)−1/3x \propto (1/x^3)^{-1/3}，1/x31/x^3 變化 1.17%1.17\% 只會讓 xx 變化大約 1.17/3≈0.39%1.17/3 \approx 0.39\%——從 5.0000×10−55.0000\times10^{-5} 降到 4.9807×10−54.9807\times10^{-5}。

Answer

x≈4.9807×10−5x \approx 4.9807\times 10^{-5}

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