解方程式 √(x√x) = 2x。

Step-by-step solution

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   把巢狀根號化成單一的次方。 利用 $\sqrt{x}=x^{1/2}$ 與指數的乘法律：

   $x\sqrt x=x^{1}\cdot x^{1/2}=x^{3/2}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{3/2}}=\left(x^{3/2}\right)^{1/2}=x^{3/4}$

   所以方程式就是 $x^{3/4}=2x$。

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   確定定義域。 $\sqrt{x}$ 與外層的根號都要求 $x\ge 0$，右邊的 $2x$ 因此也必須 $\ge 0$——兩者一致。所以只要在 $[0,\infty)$ 上找解。

3. 3

   在做除法之前先單獨處理 $x=0$。 當 $x=0$ 時左邊是 $\sqrt{0}=0$，右邊也是 $0$，所以 $x=0$ 確實是一個解。下一步若除以 $x$ 的某個次方，就會把它毀掉，這正是要先檢查它的原因。

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   對 $x>0$ 除以 $x^{3/4}$ 再求解。

   $1=2x^{1-3/4}=2x^{1/4}\quad\Longrightarrow\quad x^{1/4}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad x=\left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}$

5. 5

   把兩個解都代回原方程式驗算。 當 $x=\tfrac1{16}$：$\sqrt{x}=\tfrac14$，所以 $x\sqrt x=\tfrac1{16}\cdot\tfrac14=\tfrac1{64}$，而 $\sqrt{\tfrac1{64}}=\tfrac18$；另一邊 $2x=\tfrac18$ $\checkmark$。當 $x=0$：$0=0$ $\checkmark$。由於 $x$ 很大時 $x^{3/4}$ 增長得比 $2x$ 慢，所以不會再有其他交點。