從 x^2 - 4y + 1 = 0 解出 y。

Step-by-step solution

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   先注意 $x^{2}-4y+1$ 本身只是一個式子，不是方程式。 沒有等號就沒有東西可解、也沒有東西可化簡——$x^{2}$、$-4y$、$1$ 這三項互不同類，無法合併。讓它等於 $0$ 才把它變成一個可解的關係式，而標準的題目要求就是把 $y$ 表示成主角。

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   把其他項移走，讓 $y$ 那一項單獨留下。 兩邊同減 $x^{2}$ 與 $1$：

   $-4y=-x^{2}-1$

   暫時保留 $-4y$ 這個整體（而不是先把負號拆出來），可以避免下一步出現正負號的疏失。

3. 3

   兩邊同除以 $-4$。 除以負數會讓右邊每一項都變號：

   $y=\frac{-x^{2}-1}{-4}=\frac{x^{2}+1}{4}$

   也可以寫成 $y=\tfrac14x^{2}+\tfrac14$。如果兩個負號只翻了一個，答案就錯了——這正是要一次把整個分式除下去的理由。

4. 4

   代回檢查。 取 $y=\frac{x^{2}+1}{4}$，左邊成為

   $x^{2}-4\cdot\frac{x^{2}+1}{4}+1=x^{2}-(x^{2}+1)+1=0\ \checkmark$

   而且對每一個 $x$ 都成立，本來就該如此。數值上取 $x=-3$、$0$、$2.5$，殘差在機器精度下都是 $0$ ✓。

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   讀出幾何意義。 $y=\tfrac14x^{2}+\tfrac14$ 是一條開口向上的拋物線，頂點在 $\left(0,\tfrac14\right)$，相對於 $y=x^{2}$ 在水平方向被拉伸為 $2$ 倍。因為 $y$ 只出現一次方，原方程式把 $y$ 定義成 $x$ 的名副其實的函數——反過來解 $x$ 會得到 $x=\pm\sqrt{4y-1}$，那就不是函數了。