將多項式 x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   注意係數左右對稱。 $1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 1$ 正著讀與倒著讀完全一樣。這種對稱型的四次式常常是某個對稱二次式的平方，所以先試 $\left(x^2 + bx + c\right)^2$。

2. 2

   比對係數。 把試探的平方展開：

   $\left(x^2 + bx + c\right)^2 = x^4 + 2bx^3 + \left(b^2 + 2c\right)x^2 + 2bc\,x + c^2$

   與目標式比較：$2b = 2$ 給出 $b = 1$；$c^2 = 1$ 再配合 $x$ 項的係數 $2bc = 2$，逼出 $c = 1$；而 $x^2$ 的檢查是 $b^2 + 2c = 1 + 2 = 3$。每一個係數都吻合。

3. 3

   寫出因式分解。

   $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = \left(x^2 + x + 1\right)^2$

4. 4

   說明在實數範圍已經分解完畢。 內層二次式的判別式是 $1 - 4 = -3 < 0$，所以它在 $\mathbb{R}$ 上不可分解，而且永遠不為零。配方後 $x^2 + x + 1 = \left(x + \tfrac12\right)^2 + \tfrac34 \ge \tfrac34$，因此整個四次式有下界 $\left(\tfrac34\right)^2 = \tfrac{9}{16}$，完全沒有實根。

5. 5

   順帶記下複數範圍的分解。 在 $\mathbb{C}$ 上，$x^2 + x + 1$ 的根是本原三次單位根 $\omega = \tfrac{-1 \pm i\sqrt3}{2}$，每一個都是這個四次式的二重根：

   $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = \left(x - \omega\right)^2\left(x - \bar\omega\right)^2$

6. 6

   數值檢查。 代 $x = 2$：四次式得 $16 + 16 + 12 + 4 + 1 = 49$，而 $\left(4 + 2 + 1\right)^2 = 7^2 = 49$。代 $x = -1.7$ 時，兩種寫法都得到 $4.7961$。