解 x/(x + 100) − (x + 25)/(x + 125) = 1/10。寫出 x 的限制條件，並說明是否存在實數解。

Step-by-step solution

1. 1

   先把限制條件記下來。 分母永遠不能為零，所以在動手做代數變形之前先記住

   $x\neq-100,\qquad x\neq-125.$

   任何碰上這兩個值的候選解最後都得丟掉，所以現在寫下來比事後才發現問題划算。

2. 2

   在公分母 $(x+100)(x+125)$ 上把兩個分式合併。 把分子交叉相乘：

   $\frac{x(x+125)-(x+25)(x+100)}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}.$

   把兩個乘積分別展開，

   $x(x+125)=x^{2}+125x,\qquad (x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500.$

3. 3

   看著分子縮成一個常數。 兩個展開式只差一個常數項，所以 $x^{2}$ 與 $125x$ 兩部分完全相消：

   $\left(x^{2}+125x\right)-\left(x^{2}+125x+2500\right)=-2500.$

   方程式化為

   $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}.$

   這是本題的關鍵結構：左邊是常數除以一個二次式，而由於 $-2500<0$，左邊只有在分母為負時才可能為正——也就是只可能落在 $-125<x<-100$ 上。

4. 4

   交叉相乘，寫出二次方程式。 由 $-25000=(x+100)(x+125)=x^{2}+225x+12500$ 得

   $x^{2}+225x+37500=0.$

   判別式是

   $\Delta=225^{2}-4(1)(37500)=50625-150000=-99375<0,$

   所以這個二次方程式沒有實根，原方程式也就沒有實數解。

5. 5

   給出複數根，並確認它在實數範圍失敗的幾何原因。 因為 $99375=625\cdot159$，所以 $\sqrt{-99375}=25i\sqrt{159}$，於是

   $x=\frac{-225\pm 25i\sqrt{159}}{2}.$

   把任一個根代回都能精確得到 $\tfrac{1}{10}$。從實變數的角度看它為什麼不可能：在 $(-125,-100)$ 上乘積 $(x+100)(x+125)$ 的最小值是 $-\left(\tfrac{25}{2}\right)^{2}=-156.25$，所以在那裡 $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}\ge 16$——永遠小不到 $0.1$。