若 (18m²n − 2mn² + 15mn) − P = 6m²n − 5mn² − 12mn，求多項式 P。

Step-by-step solution

1. 1

   移項解出 $P$，並注意它是減數。 由 $A-P=B$ 可推得 $P=A-B$，而不是 $B-A$：

   $P=\left(18m^2n-2mn^2+15mn\right)-\left(6m^2n-5mn^2-12mn\right)$

   方向弄反會得到正確答案的相反數，這是這類題目遠遠最常見的錯誤。

2. 2

   把負號分配到整個第二個多項式上。 三個符號全部變號：

   $-\left(6m^2n-5mn^2-12mn\right)=-6m^2n+5mn^2+12mn$

3. 3

   依項的類型合併同類項。 三種不同的項分別是 $m^2n$、$mn^2$ 與 $mn$：

   $m^2n:\;18-6=12,\qquad mn^2:\;-2+5=3,\qquad mn:\;15+12=27$

4. 4

   寫出結果。

   $P=12m^2n+3mn^2+27mn=3mn\left(4m+n+9\right)$

   分解後的形式來自三項共有的公因式 $3mn$。

5. 5

   代數值驗算。 取 $m=1$、$n=2$。第一個多項式為 $18(2)-2(4)+15(2)=36-8+30=58$，而

   $P=12(1)(2)+3(1)(4)+27(2)=24+12+54=90$

   （分解後的形式也吻合：$3mn(4m+n+9)=3\cdot 2\cdot 15=90$）。於是左式為 $58-90=-32$，右式為 $6(2)-5(4)-12(2)=12-20-24=-32\;\checkmark$。