解不等式 2 < |x + 1| ≤ 3。

Step-by-step solution

1. 1

   把夾心式拆成兩個各自獨立的條件。 夾住絕對值的雙重不等式，實際上是一個交集：

   $|x+1|>2\qquad\textbf{且}\qquad |x+1|\le3$

   這兩者的行為正好相反——「大於」往外開，「小於」往內收——所以必須分開解，最後再取交集。

2. 2

   先解「大於」的那一半。 $|A|>c$（其中 $c>0$）代表 $A>c$ 或 $A<-c$：

   $x+1>2\ \text{或}\ x+1<-2\qquad\Longrightarrow\qquad x>1\ \text{或}\ x<-3$

   這是兩條射線的聯集——離 $-1$ 遠的那些點。

3. 3

   再解「至多」的那一半。 $|A|\le c$ 代表 $-c\le A\le c$：

   $-3\le x+1\le3\qquad\Longrightarrow\qquad -4\le x\le2$

   這是單一的一條帶狀區間——離 $-1$ 近的那些點。

4. 4

   把兩個結果逐段取交集。 拿每一條射線去和帶狀區間相交：

   • $x>1$ 與 $-4\le x\le2$ 得到 $1<x\le2$
   • $x<-3$ 與 $-4\le x\le2$ 得到 $-4\le x<-3$
5. 5

   用距離的角度讀這個答案。 $|x+1|$ 是 $x$ 到 $-1$ 的距離，所以這條不等式要找的是距離超過 $2$、但至多 $3$ 的點——數線上的一個環狀區域。左右各貢獻一段長度為 $1$ 的區間：

   $[-4,-3)\cup(1,2]$

   注意括號的樣式：外側端點是閉的（來自 $\le3$），內側端點是開的（來自嚴格的 $>2$）。

6. 6

   用掃描的方式驗證。 在 $[-6,6]$ 上取 $12{,}001$ 個精確的有理數 $x$ 逐一測試，不等式 $2<|x+1|\le3$ 恰好在 $[-4,-3)\cup(1,2]$ 的點上成立，其餘的點都不成立 ✓。端點檢查：在 $x=-4$ 時 $|x+1|=3$ ✓ 被包含；在 $x=-3$ 時 $|x+1|=2$ ✗ 被排除。