解方程式 |x| + |x − 1| = 1。

Step-by-step solution

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   把左式讀成距離的總和。 $|x|$ 是 $x$ 到 $0$ 的距離，$|x-1|$ 是 $x$ 到 $1$ 的距離。這個方程式問的是：哪些點到 $0$ 與到 $1$ 的距離加起來等於 $1$——而 $1$ 正好就是這兩點之間的間距。

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   分成三種情況。 臨界點 $0$ 與 $1$ 把數線切成三個區域。

   情況 $x<0$： 此時 $|x|=-x$、$|x-1|=1-x$，方程式成為 $-x+1-x=1$，即 $-2x=0$，得 $x=0$——這與 $x<0$ 矛盾。此區無解。

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   情況 0 ≤ x ≤ 1。 此時 $|x|=x$、$|x-1|=1-x$，於是

   $x+(1-x)=1$

   這是一個恆等式——對區間內的每一個 $x$ 都成立。所以整個 $[0,1]$ 都是這個方程式的解。

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   情況 x > 1。 此時 $|x|=x$、$|x-1|=x-1$，於是 $x+x-1=1$，即 $2x=2$、$x=1$——這與 $x>1$ 矛盾。此區同樣無解。

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   整理出解集。

   $\boxed{0\le x\le 1,\ \text{即 }x\in[0,1]}$

   答案是一個區間，而不是有限多個點——這一點值得強調，因為絕對值方程式通常會讓人預期得到孤立的解。

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   檢驗兩個端點與一個內點。 當 $x=0$：$0+1=1$ ✓。當 $x=1$：$1+0=1$ ✓。當 $x=0.3$：$0.3+0.7=1$ ✓。區間外：當 $x=2$，$2+1=3\neq 1$ ✗；當 $x=-1$，$1+2=3\neq 1$ ✗。這也與三角不等式 $|x|+|x-1|\ge|x-(x-1)|=1$ 吻合，等號恰好在 $[0,1]$ 上成立。