把 |x + 66| 寫成分段函數。

Step-by-step solution

1. 1

   從定義出發。 對任何式子 $A$ 都有

   $|A|=\begin{cases}A,&A\ge0\\-A,&A<0\end{cases}$

   也就是說，絕對值在內部非負時原樣保留，在內部為負時取相反數。要用上它只差一件事：找出內部變號時 $x$ 的值。

2. 2

   找出分界點。 令內部等於零：

   $x+66=0\qquad\Longrightarrow\qquad x=-66$

   更確切地說，$x+66\ge0$ 恰好發生在 $x\ge-66$ 時。這一個數就把數線分成了兩段。

3. 3

   逐段寫出式子。 當 $x\ge-66$ 時內部非負，絕對值符號直接拿掉即可。當 $x<-66$ 時內部為負，要取相反數 —— 而這個負號必須作用到兩項上：

   $|x+66|=\begin{cases}x+66,&x\ge-66\\-(x+66)=-x-66,&x<-66\end{cases}$

   把它寫成 $-x+66$ 而不是 $-x-66$ 是最典型的錯誤；老老實實把負號分配進去就不會出錯。

4. 4

   檢查接合處是否連續。 從右邊看 $x+66\to0$；從左邊看 $-x-66\to0$。$x=-66$ 時兩段都在 $0$ 處接上，所以函數連續 —— 圖形是一個頂點在 $(-66,0)$ 的 V 字形。

5. 5

   取幾個值驗證。 取 $x=0$：$|66|=66$，第一段給出 $0+66=66$ ✓。取 $x=-100$：$|-34|=34$，第二段給出 $100-66=34$ ✓。在 $250$ 個精確有理點上逐點直接求值，與分段形式全部吻合 ✓。另外注意，不論落在哪一段，輸出都不會是負數。