解方程式 x − 1/x = 3。

Step-by-step solution

1. 1

   在同乘之前先記下定義域限制。 $\tfrac1x$ 這一項要求 $x\neq0$。現在就記下來是有意義的：兩邊同乘 $x$ 只有在 $x\neq0$ 時才可逆，而萬一算出的根是 $0$，就必須當作增根捨去。

2. 2

   去掉分母。 每一項都乘 $x$：

   $x\cdot x-x\cdot\frac{1}{x}=3x\qquad\Longrightarrow\qquad x^{2}-1=3x$

   中間那一項恰好變成 $-1$，因為 $x\cdot\tfrac1x=1$。每一項都要乘，右邊那個 $3$ 也不例外。

3. 3

   整理成標準式。 兩邊同減 $3x$：

   $x^{2}-3x-1=0$

   於是 $a=1$、$b=-3$、$c=-1$。

4. 4

   套用公式解。

   $x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-1)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

   判別式 $13$ 是正數但不是完全平方數，所以有兩個相異的無理根，也就不存在整數範圍內的因式分解。

5. 5

   檢查兩個根有沒有被定義域排除。 數值上 $x\approx3.3028$、$x\approx-0.3028$，都不是 $0$，所以兩個都通過了定義域這一關。把它們分別代入原式 $x-\tfrac1x$，結果都是 $3$，誤差在 $10^{-12}$ 以內 ✓ —— 拿原式而不是去分母後的式子來驗算，才抓得住增根。

6. 6

   用根與係數關係再確認一遍。 兩根之和應為 $-b/a=3$：$\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}+\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}=3$ ✓。兩根之積應為 $c/a=-1$：$\dfrac{9-13}{4}=-1$ ✓。積等於 $-1$ 還說明兩根互為負倒數 —— 這是式子 $x-\tfrac1x$ 這個形狀帶來的一個巧妙推論。