設 P(x) 為四次多項式，且 P(1) = 1、P(2) = 5、P(3) = 9、P(4) = 13、P(5) = 1，求 P(x) 所有根的和。

Step-by-step solution

1. 1

   動手做代數之前，先觀察給定數值的規律。 前四個函數值 $1,5,9,13$ 每次遞增 $4$，因此它們落在同一條直線上：

   $L(x)=4x-3$

   因為 $4(1)-3=1$、$4(2)-3=5$、$4(3)-3=9$、$4(4)-3=13$。只有第五個值 $P(5)=1$ 打破了規律（照直線算應該是 $17$）。

2. 2

   減掉這個規律，人為製造出已知的根。 定義

   $Q(x)=P(x)-(4x-3)$

   則 $Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0$。減去一個一次多項式不會影響四次的首項，所以 $Q$ 仍是四次多項式——而已知四個根的四次多項式，只差一個常數倍就完全確定：

   $Q(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),\qquad a\neq 0$

3. 3

   把 $P$ 明確寫出來。 把剛才減掉的加回去：

   $P(x)=4x-3+a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

   這一個式子已經包含了五個條件中的四個，剩下那一個用來定出 $a$。

4. 4

   用 $P(5)=1$ 求 $a$。 代入 $x=5$：

   $1=4(5)-3+a(4)(3)(2)(1)=17+24a$

   $24a=-16\qquad\Longrightarrow\qquad a=-\frac{2}{3}$

5. 5

   套用根與係數關係，並注意 $a$ 會消掉。 對 $P(x)=Ax^4+Bx^3+\dots$ 而言，根之和為 $-\dfrac{B}{A}$。只展開最高的兩項：

   $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^4-(1+2+3+4)x^3+\cdots=x^4-10x^3+\cdots$

   所以 $A=a$、$B=-10a$（後面那個 $4x-3$ 影響不到這兩個係數）。因此

   $-\frac{B}{A}=-\frac{-10a}{a}=10$

   $a$ 被約掉了。算出 $a=-\tfrac{2}{3}$ 是不錯的驗算，但答案其實只需要 $a\neq 0$，而這由 $P$ 是四次多項式所保證。

6. 6

   寫出答案。 $P$ 的四個根總和為

   $\boxed{10}$

   用明確的多項式 $P(x)=-\tfrac{2}{3}x^4+\tfrac{20}{3}x^3-\tfrac{70}{3}x^2+\tfrac{112}{3}x-19$ 檢驗：它重現了五個給定值，且 $-\tfrac{20/3}{-2/3}=10$。