用綜合除法計算 2t³ − t − 15 除以 t − 1，寫出商與餘式。

Step-by-step solution

1. 1

   給缺少的 $t^2$ 項補零。 被除式是三次的，所以要湊齊四個係數：

   $2t^3+0\cdot t^2-t-15\;\Longrightarrow\; 2,\;0,\;-1,\;-15$

   漏掉這個 $0$，等於把題目換成了 $2t^2-t-15$ 去除——那是另一道題，答案也不同。

2. 2

   取 $c=1$，先用餘式定理預測餘式。 由 $t-1=t-(1)$ 知 $c=1$，餘式定理給出

   $f(1)=2-1-15=-14$

3. 3

   逐欄做「乘下來、加上去」。

   $\begin{array}{r|rrrr}1 & 2 & 0 & -1 & -15\\ & & 2 & 2 & 1\\ \hline & 2 & 2 & 1 & -14\end{array}$

   先把 $2$ 落下來；$2\cdot 1=2$，$0+2=2$；$2\cdot 1=2$，$-1+2=1$；$1\cdot 1=1$，$-15+1=-14$，與前面的預測一致。

4. 4

   讀出二次的商。 比被除式降一次：

   $\text{商}=2t^2+2t+1,\qquad \text{餘式}=-14$

5. 5

   驗證帶餘除法等式。

   $2t^3-t-15=(t-1)\left(2t^2+2t+1\right)-14$

   展開看看：$(t-1)(2t^2+2t+1)=2t^3+2t^2+t-2t^2-2t-1=2t^3-t-1$，再減去 $14$ 就得到 $2t^3-t-15\;\checkmark$。餘式不為零說明 $t-1$ 不是因式；又因為 $2t^2+2t+1$ 的判別式是 $4-8=-4<0$，可知三次式 $2t^3-t-15$ 恰好只有一個實根。