解複合不等式 8 < 60(1 + x)/7 < 7。

Step-by-step solution

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   動手變形之前先把題目讀懂。 三部分不等式 $L<E<R$ 說的是式子 $E$ 同時大於 $L$ 且小於 $R$。這裡 $L=8$、$R=7$，等於要求一個數同時大於 $8$ 又小於 $7$。既然 $8>7$，這樣的數並不存在——答案其實已經寫在臉上了。

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   還是把代數走一遍來確認。 三個部分同乘 $7$（正數，方向不變）：

   $56<60(1+x)<49$

   上下界顛倒的情況依然存在，也必然如此——任何合法運算都修不好一個自相矛盾的敘述。

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   三個部分同除以 60。 同樣因為 $60>0$：

   $\frac{56}{60}<1+x<\frac{49}{60},\qquad\text{也就是}\qquad \frac{14}{15}<1+x<\frac{49}{60}$

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   三個部分同減 1。

   $\frac{14}{15}-1<x<\frac{49}{60}-1\qquad\Longrightarrow\qquad -\frac{1}{15}<x<-\frac{11}{60}$

5. 5

   把兩個界限通分後比較。 把 $-\tfrac{1}{15}=-\tfrac{4}{60}$ 寫出來，條件就成了

   $-\frac{4}{60}<x<-\frac{11}{60}$

   但 $-\tfrac{4}{60}>-\tfrac{11}{60}$，下界反而比上界大。這個區間是空的。

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   寫出結論。 解集合是 $\varnothing$：沒有任何實數滿足這個不等式。 從 $-100$ 到 $100$ 掃過 $200{,}001$ 個 $x$ 值，確認沒有任何一個能讓 $\frac{60(1+x)}{7}$ 同時大於 $8$ 又小於 $7$ ✓。對照寫得合理的版本 $8<\frac{60(1+x)}{7}<9$，它的解是 $-\tfrac{1}{15}<x<\tfrac{1}{20}$——一個貨真價實的非空區間。