解方程式 21x² + 68x − 85 = 0。

Step-by-step solution

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   先擺出 AC 檢驗。 由 $a=21$ 與 $c=-85$，我們需要兩個整數，乘積是

   $ac=21\cdot(-85)=-1785$

   而和是 $b=68$。

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   證明這個檢驗確實行不通。 $1785=3\cdot 5\cdot 7\cdot 17$ 的各組因數配對給出的帶號和是 $\pm 1784,\pm 592,\pm 352,\pm 248,\pm 104,\pm 88,\pm 64,\pm 16$。最接近的一組是 $85$ 與 $-21$，兩者相加為 $64$，不是 $68$——所以整數分解根本不存在，任何拿那組數硬湊出來的「答案」都會是錯的。

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   計算判別式。

   $\Delta=68^2-4(21)(-85)=4624+7140=11764$

   由於 $108^2=11664$、$109^2=11881$，$\Delta$ 不是完全平方數，可以確定兩根都是無理數。

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   套公式解並化簡。 $11764=4\cdot 2941$，而 $2941=17\cdot 173$ 不含平方因數，所以 $\sqrt{11764}=2\sqrt{2941}$：

   $x=\frac{-68\pm 2\sqrt{2941}}{42}=\frac{-34\pm\sqrt{2941}}{21}$

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   做數值驗算。 $\sqrt{2941}\approx 54.231$，所以 $x\approx 0.9634$ 或 $x\approx-4.2015$。接著 $21(0.9634)^2+68(0.9634)-85\approx 19.49+65.51-85\approx 0$ $\checkmark$。