解五次方程式 40x⁵ − 51x⁴ + 10 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先排除有理根。 候選是 $\pm\tfrac{d}{e}$，其中 $d \mid 10$ 且 $e \mid 40$。抽驗幾個：$f(1) = -1$、$f(-1) = -81$、$f\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac{129}{16} = 8.0625$、$f\!\left(-\tfrac12\right) = \tfrac{89}{16} = 5.5625$、$f\!\left(\tfrac54\right) = 7.5586$。沒有一個為零；而由阿貝爾–魯菲尼定理，一般的五次方程式沒有根式解，所以只能用數值方法定出根的位置。

2. 2

   用變號把實根夾住。 把 $f(x) = 40x^5 - 51x^4 + 10$ 列成表：

   $f(-1) = -81, \quad f(-0.7) = -8.968, \quad f(-0.5) = 5.563, \quad f(0) = 10, \quad f(0.9) = 0.159, \quad f(1) = -1, \quad f(1.1) = -0.249, \quad f(1.2) = 3.779$

   每一次變號都困住一個根：一個在 $(-0.7,\,-0.5)$、一個在 $(0.9,\,1)$、一個在 $(1.1,\,1.2)$。由於 $x \to -\infty$ 時 $f \to -\infty$、$x \to +\infty$ 時 $f \to +\infty$，這三個就是全部的實根。

3. 3

   把每個區間細化。 在各區間上用二分法或牛頓法，分別收斂到

   $x_1 \approx -0.603957, \qquad x_2 \approx 0.909281, \qquad x_3 \approx 1.110778$

4. 4

   把剩下的共軛複數對找回來。 五次方程式有五個根。用這三個實根降次之後，剩下一個二次式，它的根是

   $x \approx -0.070551 \pm 0.636284\,i$

5. 5

   用係數關係驗證。 五個根之和必須是 $\tfrac{51}{40} = 1.275$：$-0.603957 + 0.909281 + 1.110778 + 2(-0.070551) = 1.275000$。五根之積必須是 $-\tfrac{10}{40} = -0.25$（次數是 5，所以符號要翻轉）：$(-0.603957)(0.909281)(1.110778)\left(0.070551^2 + 0.636284^2\right) = -0.250000$。直接代入後，每個實根都給出 $|f(x_i)| < 10^{-4}$。

6. 6

   提醒一組流傳很廣的錯誤數值。 有人會引用 $-0.6487,\ 0.7606,\ 1.2264$ 當作本方程式的根，但 $f(-0.6487) = -3.63$、$f(0.7606) = 3.11$、$f(1.2264) = 5.60$——沒有一個是根。