分解 4x² + 4xy + y² − 4x − 2y − 3。

Step-by-step solution

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   先看出二次部分藏著的完全平方。 二次項是 $4x^2 + 4xy + y^2$，正好符合 $a^2 + 2ab + b^2$，其中 $a = 2x$、$b = y$：

   $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$

   只要雙變數式子的最高次部分是完全平方，就值得檢查其餘各項是不是也繞著同一個組合打轉。

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   確認一次部分是同一個組合的倍數。

   $-4x - 2y = -2(2x + y)$

   果然是——所以整個式子對 $x$ 與 $y$ 的依賴，只透過 $2x + y$ 這一個組合。

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   用單一變數代換。 令 $u = 2x + y$，式子就變成普通的二次式：

   $u^2 - 2u - 3$

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   分解這個二次式。 兩數相乘為 $-3$、相加為 $-2$ 的是 $-3$ 與 $1$：

   $u^2 - 2u - 3 = (u - 3)(u + 1)$

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   把變數換回去。

   $(2x + y - 3)(2x + y + 1)$

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   展開驗算。 $(2x+y-3)(2x+y+1) = (2x+y)^2 + (2x+y) - 3(2x+y) - 3 = (2x+y)^2 - 2(2x+y) - 3$，也就是 $4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y - 3$。取 $(x,y) = (1, 2)$ 做數值抽查，兩種形式都得 $5$。（要避開直線 $2x+y=3$ 上的點：那裡兩種形式都是零，驗不出東西。）