展開並化簡 (p − 1)(q − 1) + 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先展開乘積，再處理那個落單的項。$+1$ 在括號外面，所以在乘法做完之前不能把它併進去。運算順序把乘法排在加法之前。

2. 2

   **把兩個二項式相乘。**第一個括號的每一項都要碰到第二個括號的每一項 —— 總共四個乘積：

   $(p-1)(q-1)=p\cdot q+p\cdot(-1)+(-1)\cdot q+(-1)(-1)=pq-p-q+1$

   最後的 $+1$ 來自 $(-1)(-1)$；負負得正。

3. 3

   注意沒有任何項可以合併。$p$ 與 $q$ 是不同的變數，所以 $-p$ 與 $-q$ 不是同類項，不能併成 $-2p$ 或 $-pq$。展開式有四個不同的項。

4. 4

   加上括號外的 1。

   $pq-p-q+1+1=pq-p-q+2$

   兩個常數是相加而不是相消，這是這題唯一真正需要留意的地方。

5. 5

   **用隨機代入驗證。**把原式與 $pq-p-q+2$ 在 $[-8,8]$ 中隨機取的 $50$ 組 $(p,q)$ 上比較，每一點都吻合到機器精度 ✓。在 $p=4,q=7$ 抽查：$(3)(6)+1=19$，而 $28-4-7+2=19$ ✓。