展開 x² + 8x + 16 與 x² − 4x + 4 的乘積。

Step-by-step solution

1. 1

   **認出兩個三項式都是完全平方。**檢查 $a^2\pm 2ab+b^2$ 的形式：

   $x^2+8x+16=(x+4)^2,\qquad x^2-4x+4=(x-2)^2$

   中間項的係數證實了這一點：$2\cdot 4=8$、$2\cdot 2=4$。這樣就不必去做九個逐項乘積了。

2. 2

   **把兩個平方併成一個。**因為 $u^2v^2=(uv)^2$，

   $(x+4)^2(x-2)^2=\bigl[(x+4)(x-2)\bigr]^2$

   整個技巧就在這裡：先把一次因式相乘，再平方一次就好。

3. 3

   把兩個二項式相乘。

   $(x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8$

   於是問題化簡成把三項式 $x^2+2x-8$ 平方。

4. 4

   **用三項式的平方公式。**取 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，其中 $a=x^2$、$b=2x$、$c=-8$：

   $a^2=x^4,\ b^2=4x^2,\ c^2=64,\ 2ab=4x^3,\ 2ac=-16x^2,\ 2bc=-32x$

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   **合併同類項。**兩個 $x^2$ 的貢獻合併起來：

   $x^4+4x^3+(4-16)x^2-32x+64=x^4+4x^3-12x^2-32x+64$

6. 6

   **在 $x=1$ 與 $x=-4$ 檢查。**在 $x=1$ 時原式是 $(1+8+16)(1-4+4)=25\cdot 1=25$，展開式給出 $1+4-12-32+64=25$。在 $x=-4$ 時原式是 $0$（因為 $(x+4)^2$ 為零），展開式給出 $256-256-192+128+64=0$。兩者都相符。