將 x³ + 3x² − 4 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   列出有理根的候選值。 最高次項係數是 $1$，所以任何有理根都會整除常數項 $-4$：

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4$

2. 2

   先試比較小的候選值。 取 $f(x)=x^3+3x^2-4$：

   $f(1)=1+3-4=0$

   所以 $x=1$ 是根，$(x-1)$ 是因式。（注意原式缺少 $x$ 項——它的係數是 $0$，做除法時這一點很重要。）

3. 3

   用綜合除法除以 $(x-1)$。 把係數 $1,\,3,\,0,\,-4$ 依序寫下，除數取 $1$：

   $1\quad 4\quad 4\ \ |\ \ 0$

   餘式為零確認了這個根，商式則是 $x^2+4x+4$。

4. 4

   分解商式。 它是完全平方：$4=2^2$ 且 $2\cdot x\cdot 2=4x$：

   $x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\Longrightarrow\quad x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2$

5. 5

   用展開與重根兩種方式驗算。 $(x-1)(x+2)^2=(x-1)(x^2+4x+4)=x^3+3x^2-4$ $\checkmark$。另外 $f(-2)=-8+12-4=0$，而且因為 $-2$ 是二重根，圖形在該處與橫軸相切而不穿越。