化簡或分解 a⁴ + a³ + a² + a + 1，並判斷它在有理數與實數上能否分解。

Step-by-step solution

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   認出它是等比級數。 這五項是連續的次方 $a^0$ 到 $a^4$，公比為 $a$，所以有限等比級數的求和公式適用：

   $a^4+a^3+a^2+a+1=\frac{a^5-1}{a-1},\qquad a\neq1$

   換個角度說，把原式乘上 $(a-1)$ 會層層抵消成 $a^5-1$。在 $a=1$ 時它的值就是 $5$。

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   排除有理因式。 依有理根定理，任何有理根都必須整除常數項 $1$，所以只有 $a=\pm1$ 是候選：$p(1)=5$、$p(-1)=1-1+1-1+1=1$，都不是零。這個多項式是第五個分圓多項式 $\Phi_5$，它在有理數上確實不可分解——它的根是四個本原五次單位根。

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   別停在這裡：它在實數上分得開。 常見的錯誤是直接下結論說「不可分解」就收工。任何實係數的四次式都能分成兩個實二次式，而這裡的分解還寫得出來。整個式子除以 $a^2$（$a\neq0$ 時合法）再對稱分組：

   $a^2+a+1+\frac1a+\frac{1}{a^2}=\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(a+\frac1a\right)+1$

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   令 t = a + 1/a 做變數代換。 因為 $a^2+\frac{1}{a^2}=t^2-2$，括號變成

   $t^2-2+t+1=t^2+t-1$

   它的根是 $t=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$——正是黃金比例的一對共軛值。每個 $t$ 對應二次方程式 $a^2-ta+1=0$。

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   寫出實數範圍的分解式。

   $a^4+a^3+a^2+a+1=\left(a^2+\frac{1+\sqrt5}{2}a+1\right)\left(a^2+\frac{1-\sqrt5}{2}a+1\right)$

   這兩個因式在實數上都不可再分：它們的判別式是 $t^2-4$，其中 $t\approx0.618$ 與 $t\approx-1.618$，分別得到 $-3.618$ 與 $-1.382$，都是負的。

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   注意這件事的推論，並做驗證。 因為兩個二次因式恆為正，這個四次式對每個實數 $a$ 都是正的——它在 $[-8,8]$ 上的最小值約為 $0.6736$，從不為零。數值上，原式與兩個二次式的乘積在 $[-4,4]$ 中 $80$ 個隨機的 $a$ 上吻合到機器精度 ✓，等比級數形式在 $a=1.3,\,2.7,\,-0.4,\,-3.1$ 也都吻合 ✓。