求方程式 (x + 4)² + 17(x + 4) + 72 = 0 的實數解。

Step-by-step solution

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   要看的是重複出現的整塊，而不是展開後的次數。 式子裡 $x+4$ 先出現平方、再出現一次方，而且沒有別的地方含 $x$。這正是「可化為二次式」方程式的特徵：展開成 $x^2 + 25x + 156 = 0$ 當然也解得出來，但那等於把讓因式分解變簡單的結構丟掉了。

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   令 $u = x + 4$。 把重複的那一塊換掉，方程式就變成單純的二次式：

   $u^2 + 17u + 72 = 0$

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   把關於 $u$ 的二次式因式分解。 找兩個數，乘積為 $72$、和為 $17$。因為 $8 \cdot 9 = 72$ 且 $8 + 9 = 17$：

   $(u+8)(u+9) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u = -8 \ \text{ 或 } \ u = -9$

   判別式為 $17^2 - 4(72) = 1 > 0$，確認有兩個相異實根。

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   把代換換回去——這一步最常被跳過。 題目問的是 $x$ 不是 $u$，所以把 $u = x+4$ 代回：

   $x + 4 = -8 \ \Rightarrow \ x = -12, \qquad x + 4 = -9 \ \Rightarrow \ x = -13$

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   兩個值都代回原方程式檢查。 對 $x=-12$：$(-8)^2 + 17(-8) + 72 = 64 - 136 + 72 = 0$。對 $x=-13$：$(-9)^2 + 17(-9) + 72 = 81 - 153 + 72 = 0$。因為這個代換只是單純的平移（沒有對兩邊平方或開根號），所以不會出現增根。