分解 4m² − 4m − 5，或說明它在整數上分不開。

Step-by-step solution

1. 1

   先試整數組合，並把失敗記下來。 由 $4m^2=(2m)(2m)$ 與常數 $-5$，整數的可能只有 $(2m+1)(2m-5)$ 與 $(2m-1)(2m+5)$。展開：

   $(2m+1)(2m-5)=4m^2-8m-5,\qquad(2m-1)(2m+5)=4m^2+8m-5$

   兩者都給出 $\pm 8m$，永遠不會是 $-4m$，所以整數分解不存在。

2. 2

   用判別式確認。 由 $a=4$、$b=-4$、$c=-5$：

   $\Delta=16+80=96$

   因為 $96$ 不是完全平方數（$9^2=81$、$10^2=100$），兩根都是無理數，整數分解從一開始就不可能。

3. 3

   求出根。 $\sqrt{96}=4\sqrt6$，所以

   $m=\frac{4\pm 4\sqrt6}{8}=\frac{1\pm\sqrt6}{2}$

4. 4

   寫出實數範圍的分解式。 若兩根為 $r_1,r_2$，二次式等於 $a(m-r_1)(m-r_2)$；首項係數 $4$ 必須帶著：

   $4m^2-4m-5=4\left(m-\frac{1+\sqrt6}{2}\right)\left(m-\frac{1-\sqrt6}{2}\right)$

5. 5

   展開根式形式來驗算。 兩根乘積為 $\tfrac{1-6}{4}=-\tfrac54=\tfrac{c}{a}$，和為 $1=-\tfrac{b}{a}$ $\checkmark$。數值上兩根 $\approx 1.7247$ 與 $\approx-0.7247$；把第一個代回得 $4(2.9746)-6.899-5\approx 0$ $\checkmark$。