把 (x² − 6x + 1)(x² + x + 1) + 12x² 完全分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先逐項展開乘積。 把第一個括號的每一部分分配出去：

   $x^{2}\left(x^{2}+x+1\right)=x^{4}+x^{3}+x^{2},\quad -6x\left(x^{2}+x+1\right)=-6x^{3}-6x^{2}-6x,\quad 1\left(x^{2}+x+1\right)=x^{2}+x+1.$

   相加併同類項，得到 $x^{4}-5x^{3}-4x^{2}-5x+1$。

2. 2

   把 $12x^{2}$ 加進去。 只有二次項的係數會變：

   $x^{4}-5x^{3}-4x^{2}-5x+1+12x^{2}=x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1.$

   那個多出來的 $12x^{2}$ 顯然是設計過的——它把一個平凡的四次式變成分得開的四次式。

3. 3

   注意係數的對稱性。 係數依序是 $1,-5,8,-5,1$，正著讀與倒著讀一樣。這種倒序多項式只要分得開，就一定長成

   $\left(x^{2}+ax+1\right)\left(x^{2}+bx+1\right)=x^{4}+(a+b)x^{3}+(ab+2)x^{2}+(a+b)x+1,$

   它自己的係數列本來就是對稱的。看出這一點，就省掉了盲目嘗試所有可能分解的工夫。

4. 4

   比對係數並求解。 與 $1,-5,8,-5,1$ 對照：

   $a+b=-5,\qquad ab+2=8\ \Rightarrow\ ab=6.$

   和為 $-5$、積為 $6$ 的兩個數是 $a=-2$ 與 $b=-3$，所以

   $x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}-3x+1\right).$

5. 5

   分解剩下的二次式，收尾。 第一個因式是完全平方，$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$；而 $x^{2}-3x+1$ 的判別式是 $9-4=5$，所以在有理數上不可分解（它的根是 $\frac{3\pm\sqrt5}{2}$，正是黃金比例的一對）。有理數範圍的完整分解式是

   $\left(x^{2}-6x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)+12x^{2}=(x-1)^{2}\left(x^{2}-3x+1\right).$

   取 $x=2.1$ 做數值檢查：原式得 $-1.0769$，分解後的形式也得 $-1.0769$ ✓；另外兩個隨機值也吻合到小數點後九位。