用綜合除法計算 x³ − 4x² + x + 6 除以 x + 1，再據此把這個三次式完全因式分解。

Step-by-step solution

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   先把 $x+1$ 改寫成 $x-c$ 的形式。 綜合除法角落那個數永遠是除式的零點，所以動手之前先改寫：

   $x+1=x-(-1)\;\Longrightarrow\; c=-1$

   碰到這種除式，寫成 $+1$ 是最常犯的一個錯。餘式定理正好當安全網用：表格算出來的結果必須等於 $f(-1)=-1-4-1+6=0$。

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   把係數列出來。 $x^3-4x^2+x+6$ 裡四個次數一個不缺，所以首列是

   $1,\;-4,\;1,\;6$

   正負號要跟著係數走，而不是跟著運算走；符號的記帳本來就是這張表替你自動完成的。

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   逐欄乘以 $-1$ 再相加。

   $\begin{array}{r|rrrr}-1 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & -1 & 5 & -6\\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0\end{array}$

   一步步來：$1\cdot(-1)=-1$，$-4+(-1)=-5$；接著 $-5\cdot(-1)=5$，$1+5=6$；再 $6\cdot(-1)=-6$，$6+(-6)=0$。乘以一個負的 $c$ 會讓中間那一列的符號正負交替，這本身就是個方便的目測檢查。

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   讀出商與餘式。 次數降一次，底列的 $1,-5,6,0$ 意味著

   $\text{商}=x^2-5x+6,\qquad \text{餘式}=0$

   於是 $x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)$。

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   把二次的商也分解掉，收尾。 商 $x^2-5x+6$ 需要找兩個數，乘積為 $6$、和為 $-5$，也就是 $-2$ 與 $-3$：

   $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

   於是完全因式分解與三個根是

   $x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x-2)(x-3),\qquad x=-1,\,2,\,3$

   檢查常數項：$(1)(-2)(-3)=6\;\checkmark$，與原三次式裡的 $+6$ 對得上。