設 (Z 的共軛) + 4i/Z 的模長等於 2 乘根號 2，求 Z 的模長。

Step-by-step solution

1. 1

   選用極式，好把幅角提出來。 令 $Z = re^{i\theta}$，其中 $r=|Z|>0$。則 $\overline{Z} = re^{-i\theta}$、$Z^{-1} = \tfrac1r e^{-i\theta}$ —— 關鍵在於兩項都帶有相同的因式 $e^{-i\theta}$。

2. 2

   把共同的指數因式提出來。 $\overline{Z}+4iZ^{-1} = e^{-i\theta}\left(r+\frac{4i}{r}\right).$ 因為 $|e^{-i\theta}|=1$，模長完全不受 $\theta$ 影響：$\left|\overline{Z}+4iZ^{-1}\right| = \left|r+\frac{4i}{r}\right|.$

3. 3

   把模長寫成 r 的式子。 括號內的實部是 $r$、虛部是 $\tfrac4r$，兩者都是實數，所以 $\left|r+\frac{4i}{r}\right| = \sqrt{r^2+\frac{16}{r^2}} = 2\sqrt2.$

4. 4

   平方後去分母。 平方得 $r^2+\dfrac{16}{r^2} = 8$；兩邊再乘以 $r^2$（不為零）得到四次方程式 $r^4-8r^2+16 = 0.$

5. 5

   看出這是完全平方。 $r^4-8r^2+16 = (r^2-4)^2$，所以 $(r^2-4)^2=0$ 迫使 $r^2=4$。這裡只有一個重根而不是兩個相異根 —— 這暗示 $2\sqrt2$ 恰好是左式所能達到的最小值。

6. 6

   取正根並確認。 模長非負，故 $r=|Z|=2$。驗算：$\sqrt{2^2+\tfrac{16}{4}} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2$。由算幾不等式，$r^2+\tfrac{16}{r^2} \ge 8$，等號只在 $r=2$ 時成立，這正是答案唯一的原因。