解不等式 x(x³ + 1) > (x³ + 1)(x² − 2)。

Step-by-step solution

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   不要兩邊同除以公因式 —— 改成移項相減。 把 $x^3+1$ 從兩邊消掉會出大錯，因為它的正負未知，而且可能為零。全部移到同一邊再因式分解：

   $\left(x^3+1\right)\Big[x - \left(x^2-2\right)\Big] > 0 \quad \Longrightarrow \quad \left(x^3+1\right)\left(-x^2+x+2\right) > 0$

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   把每一塊都徹底分解。 前者是立方和，後者是首項係數為負的二次式：

   $x^3+1 = (x+1)\left(x^2-x+1\right)$

   $-x^2+x+2 = -(x-2)(x+1) = (2-x)(x+1)$

   因式 $x+1$ 在兩者裡都出現，這正是本題的關鍵。

3. 3

   把重複的因式合併起來。 合併後得到一個平方：

   $(x+1)\left(x^2-x+1\right)(2-x)(x+1) = (x+1)^2\left(x^2-x+1\right)(2-x) > 0$

   在 $x = 0,\ 3,\ -5,\ \tfrac74$ 把它展開回去，都恰好還原成 $x(x^3+1) - (x^3+1)(x^2-2)$，可見分解沒錯。

4. 4

   說明那個二次因式恆正。 對 $x^2 - x + 1$ 而言，判別式是

   $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$

   而首項係數為正，所以對每個實數 $x$ 都有 $x^2 - x + 1 > 0$（最小值是 $x = \tfrac12$ 處的 $\tfrac34$）。因此在正負號分析中可以把它整個丟掉。

5. 5

   化成單一的正負號條件。 由於 $x^2-x+1 > 0$ 恆成立，且 $(x+1)^2 \ge 0$ 只在 $x = -1$ 時取等號，乘積為正的充要條件是

   $2 - x > 0 \quad \text{且} \quad x \ne -1$

   那個平方不會讓正負號翻轉 —— 它是在 $x = -1$ 處把解集合戳了一個洞，因為在那裡乘積為 $0$，嚴格不等式不成立。

6. 6

   寫出解集合並抽樣驗證。

   $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 2)$

   用精確算術把 $-5$ 到 $5$ 之間 $1001$ 個有理數逐點測試，每一點的結果都吻合。順帶一提，把左右對調的形式 $\left(x^3+1\right)\left(x^2-2\right) < x\left(x^3+1\right)$ 也是同一個答案，因為那根本是同一個不等式。