把 21x³ − 49x² − 18x + 42 完全分解，並求出它的根。

Step-by-step solution

1. 1

   先試分組，別急著找根。 四項的三次式是分組分解的經典題型。從中間切開：

   $\left(21x^{3}-49x^{2}\right)+\left(-18x+42\right).$

   代入 $x=2$（得 $-22$）與 $x=3$（得 $114$）都不是根，這正是「先找根」會卡住的原因——唯一的有理根是分數 $\tfrac73$，藏在一大堆 $\pm\frac{p}{q}$（$p\mid42$、$q\mid21$）的候選裡很容易漏掉。

2. 2

   分別把每一組提公因式。 第一組提出 $7x^{2}$，第二組提出 $-6$：

   $21x^{3}-49x^{2}=7x^{2}(3x-7),\qquad -18x+42=-6(3x-7).$

   符號是關鍵：提 $-6$ 而不是 $6$，才會讓第二個括號變成 $3x-7$ 而不是 $7-3x$。

3. 3

   提出共同的二項式。 兩部分現在都含有 $(3x-7)$：

   $7x^{2}(3x-7)-6(3x-7)=(3x-7)\left(7x^{2}-6\right).$

   展開回去可以確認：$21x^{3}-49x^{2}-18x+42$ ✓。

4. 4

   檢查二次式還能不能再分。 在有理數上 $7x^{2}-6$ 不可再分解，因為 $\tfrac67$ 不是有理數的平方。但在實數上它確實可以拆開：

   $7x^{2}-6=7\left(x-\sqrt{\tfrac67}\right)\left(x+\sqrt{\tfrac67}\right).$

   所以有理數範圍內的完整分解就是 $(3x-7)(7x^{2}-6)$。

5. 5

   讀出根並驗算。 令每個因式為零：

   $x=\frac{7}{3}\approx2.3333,\qquad x=\pm\sqrt{\frac67}=\pm\frac{\sqrt{42}}{7}\approx\pm0.92582.$

   把每個根代回三次式，結果與 $0$ 的差距都在 $10^{-14}$ 以內 ✓；根與係數關係也吻合：根的總和為 $\tfrac73+0=\tfrac73=\tfrac{49}{21}$ ✓。