計算 2x⁴ − x³ − 5x² + 2x + 2 除以 x − 1。

Step-by-step solution

1. 1

   選用綜合除法，並找對試根值。 除式 $x-1$ 是一次式，而且最高次項係數為 1，正好適用綜合除法。令 $x-1=0$ 得到試根值 $x=1$ —— 注意符號：除式寫作 $x-1$，用的是 $+1$，不是 $-1$。

2. 2

   按次數順序寫下係數，缺項要補零。 被除式每個次數都出現了，所以這一列是

   $2,\ -1,\ -5,\ 2,\ 2$

   （如果缺了某個次方，就必須在對應位置補上一個 $0$ —— 漏掉它是綜合除法最經典的錯誤。）

3. 3

   先落下最高次項的係數，然後反覆：乘以 1，再加到下一個係數上。

   $2;\quad -1+2=1;\quad -5+1=-4;\quad 2+(-4)=-2;\quad 2+(-2)=0$

   因為試根值是 $1$，每一步乘法都很省事，整個過程其實就是係數的累加。

4. 4

   讀出商和餘數。 前四個數是商的係數，次數比被除式低一次，最後一個數就是餘數：

   $\text{商}=2x^{3}+x^{2}-4x-2,\qquad \text{餘數}=0$

5. 5

   解讀餘數為零的意義。 由因式定理，餘數為 $0$ 表示 $x=1$ 是被除式的根，$(x-1)$ 是它貨真價實的因式：

   $2x^{4}-x^{3}-5x^{2}+2x+2=(x-1)\left(2x^{3}+x^{2}-4x-2\right)$

   確實，被除式各項係數之和 $2-1-5+2+2=0$，這正是檢驗 $x=1$ 是否為根的速算法。

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   乘回去檢驗，並再往前走一步。 把 $(x-1)\left(2x^{3}+x^{2}-4x-2\right)$ 展開，恰好還原成原來的四次式 ✓。那個三次式還能繼續用分組法分解：$x^{2}(2x+1)-2(2x+1)=(2x+1)\left(x^{2}-2\right)$，所以完整的因式分解是 $(x-1)(2x+1)\left(x^{2}-2\right)$，根為 $1,\ -\tfrac12,\ \pm\sqrt2$。