解 |x + 66| = |x − 88|。

Step-by-step solution

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   把兩邊各自翻譯成距離。 $|x+66|=|x-(-66)|$ 是 $x$ 到 $-66$ 的距離，$|x-88|$ 是 $x$ 到 $88$ 的距離。所以方程式說的是：$x$ 到 $-66$ 與到 $88$ 一樣遠。

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   用中點捷徑。 數線上與兩個相異點等距的點恰好只有一個——它們的中點：

   $x=\frac{-66+88}{2}=\frac{22}{2}=11$

   這一行就取代了通常要做的兩種情形的代數運算。

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   再用代數方法交叉驗證。 去掉絕對值會得到兩種情形。情形 1：$x+66=x-88$，化簡成 $66=-88$——不可能，所以這裡無解（只要兩邊裡面 $x$ 的係數相同，就一定會這樣）。情形 2：$x+66=-(x-88)=-x+88$，得 $2x=22$，$x=11$ ✓——答案相同。

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   理解為什麼有一種情形會崩掉。 兩個式子裡 $x$ 的係數都是 $+1$，所以把它們設為相等時變數會完全消掉，只留下一個假的數字等式。只有變號的那一種情形才可能產生解——這就是為什麼答案是單獨一個點，而不是兩個。

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   代入驗算。

   $|11+66|=|77|=77,\qquad |11-88|=|-77|=77$

   兩邊都等於 $77$ ✓。在 $[-200,200]$ 上掃描 $40{,}001$ 個精確有理點，$x=11$ 是唯一的解 ✓，而 $11$ 到 $-66$ 與到 $88$ 的距離確實都是 $77$ ✓。