解不等式 −x² + 4x − 3 ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先讓首項係數變成正的。 整個不等式乘以 $-1$，並把方向反向：

   $x^2-4x+3\le 0$

   漏掉變號，是 $x^2$ 係數為負時最常見的錯誤；那樣會得到真正答案的補集。

2. 2

   因式分解。 乘積為 $3$、和為 $-4$ 的兩數是 $-1$ 與 $-3$：

   $(x-1)(x-3)\le 0$

3. 3

   讀出解的區域。 拋物線 $y=x^2-4x+3$ 開口向上，所以它恰好在兩根之間小於或等於零，且包含端點：

   $1\le x\le 3$

4. 4

   回到原不等式做合理性檢查。 $y=-x^2+4x-3$ 開口向下，兩根同樣是 $1$ 與 $3$，所以它在兩根之間大於或等於零——得到同一個區間，而且全程不必變號。兩條獨立的路徑互相吻合，是很好的檢驗。

5. 5

   代入數值檢驗。 當 $x=2$：$-4+8-3=1\ge 0$ $\checkmark$。當 $x=0$：$-3\not\ge 0$ $\checkmark$。當 $x=4$：$-16+16-3=-3\not\ge 0$ $\checkmark$。當 $x=1$ 與 $x=3$ 時值為 $0$，滿足 $\ge 0$ $\checkmark$。