設 a、b、c 為正實數，求 P = (a/(a+b))⁴ + (b/(b+c))⁴ + (c/(c+a))⁴ 的最小值。

Step-by-step solution

1. 1

   換變數，把隱含的條件攤開。 令 $u=\dfrac{b}{a}$、$v=\dfrac{c}{b}$、$w=\dfrac{a}{c}$，於是自動有 $uvw=1$。接著 $x=\frac{a}{a+b}=\frac{1}{1+u},\quad y=\frac{1}{1+v},\quad z=\frac{1}{1+w},\qquad P=x^4+y^4+z^4.$

2. 2

   猜出等號成立的情形。 取 $a=b=c$ 會得到 $x=y=z=\tfrac12$，於是 $P=3\left(\frac12\right)^4=\frac{3}{16}.$ 剩下的工作就是證明沒有任何組合能比它更小。

3. 3

   先降到平方和。 對 $x^2,y^2,z^2$ 使用冪平均不等式， $x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}.$ 所以只要證明 $x^2+y^2+z^2\ge\tfrac34$ 就夠了。（看似好用的捷徑 $x+y+z\ge\tfrac32$ 根本是錯的——取 $a=1,b=2,c=4$ 得到 $1.4667$——所以該拿來估計的是平方而不是一次方。）

4. 4

   用一個兩變數引理。 對所有 $u,v>0$， $\frac{1}{(1+u)^2}+\frac{1}{(1+v)^2}\ge\frac{1}{1+uv},$ 因為去分母之後剩下的就是恆等式 $(uv-1)^2+uv(u-v)^2\ge 0$。

5. 5

   取 $uv=1/w$ 來套用。 引理給出 $x^2+y^2\ge\dfrac{1}{1+1/w}=\dfrac{w}{1+w}=1-z$，於是 $x^2+y^2+z^2\ge 1-z+z^2=\left(z-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34.$

6. 6

   合起來確認。 因此 $P\ge\frac{(3/4)^2}{3}=\frac{3}{16},$ 等號恰在 $z=\tfrac12$ 且 $u=v$ 時成立，也就是 $a=b=c$。用 $200$ 次隨機起始點做數值全域搜尋，最低也停在 $0.1875$，且 $a:b:c=1:1:1$。