分解 −c¹⁰n⁶ + 1/49。

Step-by-step solution

1. 1

   先重排，把正項放前面。 平方差寫成 $A^2-B^2$ 的樣子最容易看出來：

   $-c^{10}n^6+\frac{1}{49}=\frac{1}{49}-c^{10}n^6$

2. 2

   把每一項寫成平方。 分數的部分把分子分母各開一次平方根；單項式的部分把每個指數折半：

   $\frac{1}{49}=\left(\frac{1}{7}\right)^2,\qquad c^{10}n^6=\left(c^5n^3\right)^2$

   折半之所以行得通，是因為 $\left(c^5\right)^2=c^{10}$、$\left(n^3\right)^2=n^6$；兩個指數都是偶數，正是它是完全平方的原因。

3. 3

   套用公式 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$。 其中 $A=\tfrac17$、$B=c^5n^3$：

   $\frac{1}{49}-c^{10}n^6=\left(\frac{1}{7}-c^5n^3\right)\left(\frac{1}{7}+c^5n^3\right)$

4. 4

   確認沒有東西可以再分。 兩個因式都不是平方差（一個是加號，另一個含奇次方 $c^5$），也都沒有公因式。取 $c=n=1$ 做數值檢查：原式 $=\tfrac1{49}-1=-\tfrac{48}{49}$，而 $\left(\tfrac17-1\right)\left(\tfrac17+1\right)=\left(-\tfrac67\right)\left(\tfrac87\right)=-\tfrac{48}{49}$ $\checkmark$。