計算 i 從 2 到 5 的 (i² − 1) 之和。

Step-by-step solution

1. 1

   **先讀懂 sigma 記號在說什麼。**指標 $i$ 依序取遍整數 $2,3,4,5$ —— 是四項而不是五項，因為上下限都包含在內。對每一個指標值代入 $i^2-1$，再把結果相加。

2. 2

   逐項計算。$i=2$：$4-1=3$。$i=3$：$9-1=8$。$i=4$：$16-1=15$。$i=5$：$25-1=24$。注意每一項都是 $i^2-1=(i-1)(i+1)$，所以這些值分別是 $1\cdot3$、$2\cdot4$、$3\cdot5$、$4\cdot6$。

3. 3

   把四項相加。 $3+8+15+24 = 50.$ 配對起來更好算：$3+24=27$、$8+15=23$，而 $27+23=50$。

4. 4

   **用公式驗算。**把和拆開：$\sum_{i=2}^{5} i^2 - \sum_{i=2}^{5} 1$。前者是 $\tfrac{5\cdot6\cdot11}{6}-1 = 55-1 = 54$（到 $5$ 為止的平方和，再扣掉 $i=1$ 那一項），後者就是 $4$。於是 $54-4=50$，與前面相符。

5. 5

   **留意兩個經典陷阱。**若把指標從 $1$ 而不是 $2$ 開始，會多加一項 $1^2-1=0$，在這題碰巧不影響答案；但只在最後減一次 $1$（得到 $54-1=53$）就真的錯了 —— $-1$ 出現在被加項裡面，所以要被減四次。