求函數 f(x) = (2x + 9) / (x³ + 3x² − x − 3) 的定義域，答案用區間表示。

Step-by-step solution

1. 1

   先把問題化歸成求三次分母的零點。 分式函數在分母不為零的地方處處有定義，所以定義域就是 $\mathbb{R}$ 去掉 $x^{3}+3x^{2}-x-3$ 的根。分子 $2x+9$ 不帶來任何限制。四項而且沒有公因式，這時分組分解比試根法更順手。

2. 2

   分組分解。 把前兩項和後兩項各分成一組，提出各自明顯的公因式：

   $x^{3}+3x^{2}-x-3=x^{2}(x+3)-1(x+3)=\left(x^{2}-1\right)(x+3)$

   分組之所以奏效，正是因為兩組剩下的都是同一個因式 $(x+3)$。

3. 3

   再用平方差收尾。 由於 $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$，分母被徹底分解成一次因式：

   $x^{3}+3x^{2}-x-3=(x-1)(x+1)(x+3)$

4. 4

   令每個因式為零，列出要排除的值。

   $x-1=0\ \Rightarrow\ x=1,\qquad x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1,\qquad x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$

   這些點都不會同時讓分子為零（$2x+9$ 在那裡分別等於 $11$、$7$ 與 $3$），所以三個都是真正的鉛直漸近線，而不是可移除的空心點。

5. 5

   把定義域寫成區間形式。 從數線上挖掉三個點，剩下四個開區間，按由小到大排列：

   $(-\infty,-3)\cup(-3,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)$

6. 6

   數值檢驗分解是否正確。 在 $x=0,1,2,3$ 計算 $(x-1)(x+1)(x+3)-\left(x^{3}+3x^{2}-x-3\right)$，每次都得 $0$，可見這三個排除值就是全部。