將 x²(x − y) + (y − x) 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   注意兩個括號只差一個負號。 式子裡有 $(x-y)$ 與 $(y-x)$——不相同，但互為相反數。這是分組分解法最常見的絆腳石，而解法只要翻一個符號，不必把整個式子展開。

2. 2

   翻轉第二個括號。 因為

   $y-x=-(x-y)$

   式子變成

   $x^2(x-y)-(x-y)$

   現在兩項都帶著完全相同的因式 $(x-y)$。

3. 3

   提出共同的括號。 把第二項寫成 $1\cdot(x-y)$，係數就一目了然：

   $x^2(x-y)-1(x-y)=(x-y)\left(x^2-1\right)$

4. 4

   認出平方差。 $x^2-1=x^2-1^2$，所以由 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$：

   $x^2-1=(x-1)(x+1)$

   答案若停在 $(x-y)(x^2-1)$，因式分解就不完整。

5. 5

   寫出完整的因式分解。

   $x^2(x-y)+(y-x)=(x-y)(x-1)(x+1)$

   三個一次因式，所以式子恰好在 $x=y$、$x=1$ 或 $x=-1$ 時為零。

6. 6

   用數值與展開兩種方式驗算。 在 $[-4,4]$ 中測試 $60$ 組隨機的 $(x,y)$，每一組都在機器精度內相等 ✓。抽查 $x=3,y=1$：原式是 $9(2)+(1-3)=18-2=16$，分解後的形式是 $(2)(2)(4)=16$ ✓。