求經過點 (10, −5) 與 (1, −8) 的直線方程式。

Step-by-step solution

1. 1

   先算斜率，當心雙重負號。 取 $(x_{1},y_{1})=(10,-5)$、$(x_{2},y_{2})=(1,-8)$：

   $m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-8-(-5)}{1-10}=\frac{-3}{-9}=\frac{1}{3}$

   分子與分母都是負的，所以斜率是正的。分子分母按同樣的順序相減，才能保證符號不出錯。

2. 2

   用其中任一個點寫出點斜式。 取 $(10,-5)$：

   $y-(-5)=\frac{1}{3}(x-10)\ \Longrightarrow\ y+5=\frac{1}{3}(x-10)$

   公式裡寫的是「減去這個座標」，所以 $y-(-5)$ 就變成了 $y+5$。

3. 3

   把斜率乘進去。

   $y+5=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}$

4. 4

   把 $y$ 單獨留下，順手把 5 化成三分之幾。

   $y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}-5=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}-\frac{15}{3}=\frac{1}{3}x-\frac{25}{3}$

   $-\tfrac{25}{3}$ 要保留精確形式；寫成 $-8.33$ 會丟掉資訊，代回去也驗不乾淨。

5. 5

   把兩個原始點都代回去檢驗。 當 $x=10$：$\tfrac{10}{3}-\tfrac{25}{3}=-\tfrac{15}{3}=-5$ ✓。當 $x=1$：$\tfrac{1}{3}-\tfrac{25}{3}=-\tfrac{24}{3}=-8$ ✓。兩個點都驗，而不只驗用來列式的那一個，這樣才真正檢驗了斜率。