設 Z1 = 4i/(1 − i 的 555 次方)，Z2 = (7 乘 i 的 88 次方 + 24 乘 i 的 33 次方)/(5i)。求 Z1 的共軛乘 Z2 的平方，再除以 Z1 的絕對值。

Step-by-step solution

1. 1

   先用絕對值的性質化簡目標，再去碰數字。 絕對值有乘法性，所以 $\left|\frac{\overline{Z_1}\,(Z_2)^2}{Z_1}\right| = \frac{|\overline{Z_1}|\,|Z_2|^2}{|Z_1|}.$ 又因為共軛複數的絕對值相同，$|\overline{Z_1}| = |Z_1|$，兩個 $Z_1$ 因子直接約掉：答案就只是 $|Z_2|^2$。$Z_1$ 根本無關緊要——這是題目故意設下的陷阱。

2. 2

   利用週期 4 把 i 的次方降下來。 $i^1=i$、$i^2=-1$、$i^3=-i$、$i^4=1$，所以只有指數對 $4$ 取餘數才重要。$88 \equiv 0 \pmod 4$ 給出 $i^{88}=1$，而 $33 \equiv 1 \pmod 4$ 給出 $i^{33}=i$。

3. 3

   代回 Z2。 $Z_2 = \frac{7(1)+24(i)}{5i} = \frac{7+24i}{5i}.$

4. 4

   把分母的虛數單位清掉。 分子分母同乘 $-i$，用到 $i\cdot(-i) = -i^2 = 1$：$Z_2 = \frac{(7+24i)(-i)}{5} = \frac{-7i-24i^2}{5} = \frac{24-7i}{5} = \frac{24}{5}-\frac{7}{5}i.$

5. 5

   算絕對值的平方。 取 $a=\tfrac{24}{5}$、$b=-\tfrac{7}{5}$：$|Z_2|^2 = a^2+b^2 = \frac{576}{25}+\frac{49}{25} = \frac{625}{25} = 25.$ 之所以答案是漂亮的整數，是因為 $7$-$24$-$25$ 這組畢氏數。

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   用數值交叉檢查。 $555 \equiv 3 \pmod 4$ 所以 $i^{555} = -i$，於是 $Z_1 = \tfrac{4i}{1+i} = 2+2i$。直接算 $\left|\tfrac{(2-2i)(24/5-7i/5)^2}{2+2i}\right|$ 得到 $25.000$，同時確認了前面的捷徑與計算。