解 20.2x³ − 80.8x² + 60.6 = 0，三個根都要給出精確值與小數值。

Step-by-step solution

1. 1

   先去掉小數並約分。 兩邊乘以 $10$ 得 $202x^{3}-808x^{2}+606=0$，而每個係數都是偶數，所以再除以 $2$：

   $101x^{3}-404x^{2}+303=0.$

   注意式子裡沒有 $x$ 項——它的係數是 $0$，稍後做除法時一定要記得補上。從這裡開始都是整數運算，有理根的搜尋就變成精確的，而不是近似的。

2. 2

   找出有理根。 這些係數其實都是 $101$ 的倍數，而且排列得很有暗示性：$101$、$-404=-4\cdot101$、$303=3\cdot101$。試 $x=1$：

   $101-404+303=0 ✓,$

   所以 $x=1$ 是一個根，$(x-1)$ 整除這個三次式。這正是先約分的好處：檢驗只需要一行心算。

3. 3

   除掉 $(x-1)$。 以係數 $101,\;-404,\;0,\;303$ 對根 $1$ 做綜合除法，得到 $101,\;-303,\;-303$，餘式為 $0$：

   $101x^{3}-404x^{2}+303=(x-1)\left(101x^{2}-303x-303\right).$

   缺項的 $x$ 必須以 $0$ 填進除法的那一列；漏掉它會讓後面每個係數整排錯位，結果全毀。

4. 4

   解二次式並化簡根式。 對 $101x^{2}-303x-303=0$，

   $\Delta=303^{2}+4(101)(303)=91809+122412=214221.$

   這個數確實可以化簡：$214221=101^{2}\times 21$，所以 $\sqrt{214221}=101\sqrt{21}$。於是

   $x=\frac{303\pm101\sqrt{21}}{202}=\frac{101\left(3\pm\sqrt{21}\right)}{202}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}.$

   公因數 $101$ 完全被約掉——整條三次式本來就是 $101$ 乘上某個簡單的東西。

5. 5

   給出小數並檢驗。 取 $\sqrt{21}\approx4.58258$，

   $x=1,\qquad x\approx 3.791288,\qquad x\approx -0.791288.$

   把每個根代進 $20.2x^{3}-80.8x^{2}+60.6$，結果都在 $10^{-13}$ 以內回到 $0$ ✓。根與係數關係也吻合：三根之和為 $1+3=4=\tfrac{404}{101}$ ✓，三根之積為 $1\cdot\frac{9-21}{4}=-3=-\tfrac{303}{101}$ ✓。