解 x³ − 15x² + 75x − 125 = 0。

Step-by-step solution

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   拿係數去比對立方公式的樣板。 展開樣板得到

   $(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$

   先對 $x^2$ 的係數：$-3a=-15$，所以 $a=5$。接著剩下兩個係數都必須吻合，而它們確實吻合：$3a^2=75$ ✓，$-a^3=-125$ ✓。三處全部通過才有資格用這個捷徑 —— 只要有一處不合，這個三次式就不是完全立方。

2. 2

   把式子改寫成立方形式。

   $x^3-15x^2+75x-125=(x-5)^3=0$

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   解這個立方式。 一個立方等於零，只有底數為零這一種可能，於是

   $x-5=0\quad\Rightarrow\quad x=5$

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   記下重數。 因式 $(x-5)$ 出現了三次，所以 $x=5$ 是三重根。三次方程式按重數計恰有三個根，這裡三個根重合在一起 —— 既沒有別的實根，也沒有複數根。

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   驗算，並順便讀出圖形特徵。 代入：$125-375+375-125=0$ ✓。此外 $f'(x)=3x^2-30x+75=3(x-5)^2$，$f''(x)=6x-30$，因此 $f'(5)=0$，$f''(5)=0$ 也成立。所以函數圖形在 $x=5$ 處會完全「壓平」之後才穿過橫軸 —— 這正是三重根在圖形上的指紋。