解不等式 (7x − 1)/(3x − 2) < 4，並說明每一步的理由。

Step-by-step solution

1. 1

   不要把兩邊同乘 3x − 2。 當 $x>\tfrac23$ 時 $3x-2$ 為正，當 $x<\tfrac23$ 時為負。把不等式乘上一個正負未知的式子並不合法——它會在數線的一段保持方向、在另一段把方向反過來。安全的做法是把所有東西移到同一邊，再與零比較。

2. 2

   兩邊同減 4。 加減常數永遠合法：

   $\frac{7x-1}{3x-2}-4<0$

3. 3

   併成單一分式。 把 $4$ 寫成 $\dfrac{4(3x-2)}{3x-2}$：

   $\frac{7x-1-4(3x-2)}{3x-2}=\frac{7x-1-12x+8}{3x-2}=\frac{7-5x}{3x-2}<0$

4. 4

   找出臨界點。 分子在 $7-5x=0$ 時為零，即 $x=\tfrac75$；分母在 $x=\tfrac23$ 時為零。它們把數線切成 $\left(-\infty,\tfrac23\right)$、$\left(\tfrac23,\tfrac75\right)$ 與 $\left(\tfrac75,\infty\right)$。

5. 5

   每個區間各測一點。

   $x=0$：$\dfrac{7}{-2}<0$ ✓

   $x=1$：$\dfrac{2}{1}=2>0$ ✗

   $x=2$：$\dfrac{-3}{4}<0$ ✓

6. 6

   組出解集，並逐一決定端點。 不等式是嚴格的，所以 $x=\tfrac75$（該處分式為 $0$）要排除；$x=\tfrac23$ 也要排除，因為式子在那裡沒有定義：

   $\boxed{x<\dfrac23\quad\text{或}\quad x>\dfrac75}$

7. 7

   回頭對照原不等式確認。 取 $x=0$：$\tfrac{-1}{-2}=0.5<4$ ✓。取 $x=1$：$\tfrac{6}{1}=6\not<4$ ✗。取 $x=2$：$\tfrac{13}{4}=3.25<4$ ✓。順帶一提，草率地交叉相乘會得到 $7x-1<12x-8$，也就是 $x>\tfrac75$——在其中一支上是對的，卻整段漏掉 $x<\tfrac23$，正如步驟 1 所警告的。