化簡指數式 (x⁵y⁶z³ / (x⁻⁵y⁻⁶z⁻³))⁻²，假設各變數都代表非零實數。

Step-by-step solution

1. 1

   先把括號內化簡，再套外面的次方。 這裡有兩條指數律在互相搶戲，而處理順序會決定正負號好不好顧。先把分式收成單一的單項式，再一次處理那個 $-2$。對付分式要用的是相除法則：

   $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$

2. 2

   逐個變數把指數相減，盯緊雙重負號。 分母的指數全是負的，所以減去它等於加上：

   $\frac{x^{5}}{x^{-5}}=x^{5-(-5)}=x^{10},\qquad \frac{y^{6}}{y^{-6}}=y^{6-(-6)}=y^{12},\qquad \frac{z^{3}}{z^{-3}}=z^{3-(-3)}=z^{6}$

   所以式子現在是

   $\left(x^{10}y^{12}z^{6}\right)^{-2}$

3. 3

   用次方法則把外面的指數分配進去。 因為 $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$，而乘積取次方就是每個因式各自取次方，所以每個指數都要乘上 $-2$：

   $x^{10(-2)}y^{12(-2)}z^{6(-2)}=x^{-20}y^{-24}z^{-12}$

4. 4

   把負指數改寫成正指數的形式。 負指數代表倒數，$a^{-k}=\dfrac{1}{a^{k}}$，所以三個因式全都掉到同一個分母裡：

   $x^{-20}y^{-24}z^{-12}=\frac{1}{x^{20}y^{24}z^{12}}$

   這就是題目為什麼要強調各變數非零——否則倒數根本沒有定義。

5. 5

   數值驗證。 把 $x=1.3$、$y=0.7$、$z=2.1$ 代進原式得到 $0.0037337776928081$，而化簡後的 $1/(x^{20}y^{24}z^{12})$ 同樣給出 $0.0037337776928081$。兩者在雙精度下完全吻合，可見指數的帳算對了。