化簡 (x + y)(x − y) + 4(y − 1)，並把結果盡量因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   用平方差公式展開乘積。

   $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

   逐項相乘會得到同樣的結果，但套公式可以直接跳過那兩個會相消的交叉項。

2. 2

   展開第二個括號。

   $4(y-1) = 4y - 4$

3. 3

   合併成化簡後的式子。

   $x^2 - y^2 + 4y - 4$

   這幾項兩兩都不是同類項，所以這已經是完全化簡的展開形式。

4. 4

   看出第二個平方差。 把後三項分成一組並提出 $-1$：

   $-y^2 + 4y - 4 = -\left(y^2 - 4y + 4\right) = -(y-2)^2$

   於是整個式子就是 $x^2 - (y-2)^2$ —— 又是一個平方差。

5. 5

   因式分解。

   $x^2 - (y-2)^2 = \left(x - (y-2)\right)\left(x + (y-2)\right) = (x - y + 2)(x + y - 2)$

6. 6

   在 (x, y) = (3, 5) 做數值檢查。 原式為 $(8)(-2) + 4(4) = -16 + 16 = 0$。展開形式給出 $9 - 25 + 20 - 4 = 0$。因式形式給出 $(3-5+2)(3+5-2) = 0 \times 6 = 0$。三者一致；而且這個零不是巧合：$x = y - 2$ 會讓第一個因式為零。