解 x^7 + x^5 + x^3 + x = 4.66，求 x 的實數值。

Step-by-step solution

1. 1

   先證明恰有一個實根。 令 $f(x) = x^7 + x^5 + x^3 + x$。它的導數 $f'(x) = 7x^6 + 5x^4 + 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$ 對每個實數 $x$ 都成立，所以 $f$ 在整個 $\mathbb{R}$ 上嚴格遞增。嚴格遞增的連續函數取到每個值至多一次，而由於 $f \to \pm\infty$，恰好一次。不必因式分解就能知道答案是唯一的。

2. 2

   把根夾住。

   $f(1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4, \qquad f(1.1) = 1.948717 + 1.610510 + 1.331 + 1.1 = 5.990227$

   因為 $4 < 4.66 < 5.990227$，根落在 $(1,\ 1.1)$ 之內。

3. 3

   把區間縮小。

   $f(1.03) = 4.511875, \qquad f(1.04) = 4.697449$

   目標值 $4.66$ 夾在兩者之間，所以根落在 $(1.03,\ 1.04)$ 內——而且比較靠近 $1.04$，因為 $4.66$ 離 $4.697$ 比離 $4.512$ 近。

4. 4

   二分到足夠的精度。 反覆把區間對半（或用上面的導數施行牛頓法），收斂到

   $x \approx 1.038016$

5. 5

   驗證，並說明需要多少精度。 取到六位小數時 $f(1.038016) = 4.660006$。相對地 $f(1.038) = 4.659705$、$f(1.03805) = 4.660645$，所以答案必須保留到大約六位有效數字——在根附近函數每單位 $x$ 大約變化 $18.8$，因此 $x$ 上 $10^{-6}$ 的誤差會造成 $f$ 上 $2\times10^{-5}$ 的誤差。