已知 −2 < a < 1 且 1 < b < 2，下列哪些正確？A：−4 < a − b < 0。B：−2 < ab < 2。C：−2 < a/b < 1。D：ab − 2 < a − 2b。

Step-by-step solution

1. 1

   先把「相減」的正確做法定下來。 不等式可以相加，卻不能直接相減；正確做法是先把第二式取負號。由 $1<b<2$ 得 $-2<-b<-1$，再與 $-2<a<1$ 相加得

   $-4<a-b<0$

   所以 A 正確，而且這兩個界是緊的（當 $a\to-2,b\to 2$ 以及 $a\to 1,b\to 1$ 時可以逼近）。

2. 2

   B 是錯的 —— 要檢查乘積在矩形角落的極端值。 因為 $a$ 可以是負的，$ab$ 的極值出現在矩形的角點上：$ab$ 從 $(-2)(2)=-4$ 一直取到 $(1)(2)=2$，所以

   $-4<ab<2$

   小於 $-2$ 的值真的會出現：取 $a=-1.8$、$b=1.9$ 就得到 $ab=-3.42$。不正確。

3. 3

   C 是對的。 由於 $b>0$，作除法不會改變不等號方向；商在 $a$ 最大、$b$ 最小時最大，在 $a$ 最負、$b$ 最小時最小：

   $\frac{a}{b}>\frac{-2}{1}=-2,\qquad \frac{a}{b}<\frac{1}{1}=1$

   所以 $-2<\dfrac ab<1$。正確。

4. 4

   D 是錯的 —— 移項化成一個乘積。 「$ab-2<a-2b$」這個說法等價於

   $ab-a+2b-2<0\quad\Longleftrightarrow\quad a(b-1)+2(b-1)<0\quad\Longleftrightarrow\quad (a+2)(b-1)<0$

   但 $a>-2$ 給出 $a+2>0$，$b>1$ 給出 $b-1>0$，所以對每一組允許的數值這個乘積都是正的。因此題目寫的不等式恆不成立。不正確。

5. 5

   下結論，並取一個樣本點驗證。

   $\boxed{\text{A 與 C}}$

   取 $a=0$、$b=1.5$：$a-b=-1.5\in(-4,0)$ ✓；$ab=0\in(-4,2)$（它同時也落在 $(-2,2)$ 內，這正是為什麼推翻 B 非得靠角點檢驗不可）；$a/b=0\in(-2,1)$ ✓；而 $ab-2=-2$、$a-2b=-3$，所以 $-2<-3$ 不成立 ✓，確認 D 不對。