|x + 1| + |x − 2| 的最小值是多少？

Step-by-step solution

1. 1

   把每個絕對值讀成距離。 因為 $|x-a|$ 是數線上 $x$ 到 $a$ 的距離，把式子改寫成

   $|x-(-1)|+|x-2|$

   它就是點 $x$ 到兩個定點 $-1$ 與 $2$ 的距離總和。這樣一改，原本要分三種情況的代數討論就變成一個幾何事實。

2. 2

   想清楚距離總和何時最小。 如果 $x$ 落在 $-1$ 與 $2$ 之間，兩段距離加起來恰好等於兩點的間距。如果 $x$ 落在這個區間外，就得先往回走，總和必定嚴格更大。

3. 3

   算出間距。

   $2-(-1)=3$

   所以最小值是 $3$，而且對 $[-1,2]$ 裡的每一個 $x$ 都取到——不是只在單一點上。

   $\boxed{3}$

4. 4

   用代數分段驗證。 當 $x<-1$：$-(x+1)-(x-2)=1-2x>3$。當 $-1\le x\le 2$：$(x+1)-(x-2)=3$。當 $x>2$：$(x+1)+(x-2)=2x-1>3$。三段都印證了值 $3$ 以及中間那段是平的。

5. 5

   再用三角不等式交叉檢查。 $|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|\ge|(x+1)+(2-x)|=3$，等號恰在 $x+1$ 與 $2-x$ 同號時成立——也就是 $-1\le x\le 2$，與分段討論一致。抽幾個值：$x=0$ 時和是 $1+2=3$；$x=5$ 時是 $6+3=9$。