將 x² − 4x 因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   動手之前先找公因式。 這個式子沒有常數項，這就是「有公因式可提」而不是「要找兩個數」的訊號。把每一項寫成乘積：

   $x^{2}=x\cdot x,\qquad4x=4\cdot x$

   兩項都恰好含一個 $x$，所以最大公因式是 $x$——不是 $x^{2}$，因為 $4x$ 只有一個 $x$。

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   把每一項除以公因式，商留在括號裡。

   $\frac{x^{2}}{x}=x,\qquad\frac{-4x}{x}=-4$

   所以

   $x^{2}-4x=x(x-4)$

   正負號要跟著項一起走：原式是 $-4x$，所以括號裡放的是 $-4$。

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   展開檢查。 $x(x-4)=x\cdot x-x\cdot4=x^{2}-4x$ ✓。這個恆等式在 $-20$ 到 $19$ 的每個整數上都驗證過 ✓。常見的失誤是寫成 $x(x-4x)$——只把其中一項除了。

4. 4

   讀出根。 令因式分解後的式子等於零，再用乘積為零的性質：

   $x(x-4)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{ 或 }\ x=4$

   注意 $x=0$ 是貨真價實的根，如果不做因式分解而是把兩邊同除以 $x$，就很容易把它弄丟——除以一個可能為零的變數會消滅一個解。

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   看看它的幾何意義。 $x^{2}-4x$ 是開口向上的拋物線，通過 $(0,0)$ 與 $(4,0)$，所以頂點落在中點 $x=2$，該處的值是 $4-8=-4$。因此 $x^{2}-4x<0$ 恰好發生在 $(0,4)$ 上，最小值是 $-4$。