解不等式 x^2 - 3x - 10 <= 0。

Step-by-step solution

1. 1

   把左邊因式分解。 乘積為 $-10$、和為 $-3$ 的兩數是 $-5$ 與 $2$：

   $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\le 0$

2. 2

   找出根。 乘積在 $x=5$ 與 $x=-2$ 時為零。由於不等號不是嚴格的，這兩個值屬於解集。

3. 3

   判斷哪一段會讓乘積為負。 首項係數是 $+1$，所以拋物線開口向上：只有在兩根之間才會落在 x 軸下方。等價地說，當 $-2<x<5$ 時因式 $(x+2)$ 為正而 $(x-5)$ 為負，乘積就是負的。

4. 4

   寫出閉區間。

   $-2\le x\le 5,\qquad\text{即 }[-2,\,5]$

5. 5

   三段區域加上端點全部驗證。 代 $x=0$：$-10\le 0$ $\checkmark$。代 $x=6$：$36-18-10=8\not\le 0$ $\checkmark$。代 $x=-3$：$9+9-10=8\not\le 0$ $\checkmark$。代 $x=5$ 與 $x=-2$ 時式子恰好是 $0$，滿足 $\le 0$ $\checkmark$。