函數 f(x) = |x − 4| 向上平移 6 單位、向右平移 2 單位。寫出平移後新函數的式子。

Step-by-step solution

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   先看清出發位置。 絕對值符號外面沒有常數，所以 $f(x)=|x-4|$ 的頂點是

   $(4,0)$

   它正好落在 $x$ 軸上，兩條邊分別以 $-1$ 與 $+1$ 的斜率向上張開。

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   向右平移 2 單位。 把函數裡的 $x$ 換成 $x-2$：

   $\left|(x-2)-4\right|=|x-6|$

   兩次相減累加成一次平移 $6$，所以轉折點現在位於 $x=6$。

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   向上平移 6 單位。 給輸出值加上 $6$：

   $|x-6|+6$

   因為原函數沒有鉛直方向的常數項，這一次平移就直接提供了那個 $+6$。

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   寫出最終的式子與頂點。

   $f(x)=|x-6|+6,\qquad \text{頂點 }(6,6)$

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   驗證，並留意一個副產品。 原來的點 $(4,0)$ 應該落到 $(6,6)$，而 $|6-6|+6=6\;\checkmark$；原來的點 $(0,4)$ 應該落到 $(2,10)$，而 $|2-6|+6=4+6=10\;\checkmark$。由於最小值現在是 $6>0$，平移後的圖形再也碰不到 $x$ 軸，而原圖形恰好與它相切於一點——這是純粹由鉛直平移帶來的一個實質變化。