分解 a⁴ + 4b⁴。

Step-by-step solution

1. 1

   先認清障礙。 這是一個和，而兩個平方的和——$\left(a^{2}\right)^{2}+\left(2b^{2}\right)^{2}$——在實數上通常分不開。訣竅是製造出一個平方差：加上一項再立刻減掉，值完全不變，結構卻現形了。

2. 2

   加上再減掉 $4a^{2}b^{2}$。 這個選擇不是隨便挑的：$4a^{2}b^{2}$ 恰好是 $a^{2}$ 與 $2b^{2}$ 乘積的兩倍，也就是完全平方所需要的交叉項：

   $a^{4}+4b^{4}=\underbrace{a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4}}_{\text{完全平方}}-4a^{2}b^{2}$

3. 3

   把前三項收成平方。

   $a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}$

   於是式子變成了貨真價實的平方差：

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}-(2ab)^{2}$

4. 4

   套用 $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$，其中 $A=a^{2}+2b^{2}$、$B=2ab$：

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}-2ab\right)\left(a^{2}+2b^{2}+2ab\right)$

   把每個括號按 $a$ 的降冪重排，就是索菲・熱爾曼恆等式的標準寫法：

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}-2ab+2b^{2}\right)\left(a^{2}+2ab+2b^{2}\right)$

5. 5

   驗證，並確認兩個因式不可再分。 在 $-7\le a,b\le7$ 的全部 $225$ 組整數上展開乘積，都精確地還原成 $a^{4}+4b^{4}$ ✓。抽查 $a=1,b=1$：$1+4=5$，而 $(1-2+2)(1+2+2)=1\cdot5=5$ ✓。兩個二次因式視為 $a$ 的二次式時判別式都是 $4b^{2}-8b^{2}=-4b^{2}<0$，所以在實數上都不能再分——這就是完整的分解。

6. 6

   看看它的用處。 取 $b=1$，恆等式給出 $a^{4}+4=\left(a^{2}-2a+2\right)\left(a^{2}+2a+2\right)$，這證明了每個整數 $a>1$ 都讓 $a^{4}+4$ 是合數——這正是這條恆等式在數論上的經典應用。